0.4.7. Оператор Лапласа

Суперпозиция операций дифференцирования и дивергенции носит специальное название оператора Лапласа. Более подробно, пусть f — скалярное или векторное поле. Тогда div (¶f/¶x) называется значением оператора Лапласа D на поле f и обозначается Df. Более подробно в "коэффициентной" записи, если f — скалярное поле, то

Df = div (grad f) = div (Сf) =

= div ж и ¶f ¶x1 , ...,  ¶f ¶xk ц ш  =  m е i = 1 ¶2f (¶xi)2 .

В самом деле,

¶ ¶x ¶f ¶x  =  ¶ ¶x Сf(x) =  ¶ ж и ¶f ¶x1 , ...,  ¶f ¶xm ц ш ¶x  =

=  ж з з з з з з з з з з и ¶2f ¶x12 ¶2f ¶x1¶x2 ··· ¶2f ¶x1¶xm ¶2f ¶x2¶x1 ¶2f ¶x22 ··· ¶2f ¶x2¶xm : : ··· : ¶2f ¶xm¶x1 ¶2f ¶xm¶x2 ··· ¶2f ¶xm2 ц ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ш ,

и, следовательно,

div ж и ¶f ¶x ц ш  = tr б ¶ ¶x ¶f ¶x с  =  m е i = 1 ¶2f (¶xi)2 .

Аналогично, хотя и более громоздко, показывается, что если f — векторное поле, то

Df = (Df 1, ..., Df m) =  ж и m е i = 1 ¶2f 1 (¶xi)2 , ...,  m е i = 1 ¶2f m (¶xi)2 ц ш .

Здесь же заметим, что если f — векторное поле, то

div ж и ¶f * ¶x ц ш  = С(div f) = grad (div f),

(14)

а если, кроме того, F — тензорное поле, то

div Pб f с = f ·div F +  1 2 P : й л ¶f ¶x  +  ж и ¶f * ¶x ц ш щ ы .

(15)