0.2.2. Изометрия нормированных пространств

Два линейных нормированных пространства E1 и E2 называются изометричными, если существует линейное отображение Б: E1 ® E2 такое, что ||Ббxс||E2 = ||x||E1. Отображение Б называется изометрией. С точки зрения линейной и метрической структуры изометрические пространства неразличимы. Изометричность пространств E1 и E2 обычно обозначается знаком "~": E1 ~E 2.

П р и м е р. Пространство L(R^m, R) называется пространством линейных функционалов на R^m (пространством, сопряженным к R^m), его элементы называются функционалами. Сопряженное пространство обозначается обычно (R^m)*, или R^m*.

Нетрудно видеть, что R^m* ~ R^m. Изометрию R^m* ® R^m можно задать формулой

Бб f с = f бeiсei,

(9)

где {e_i} — произвольный базис в R^m, а {eⁱ} — соответствующий кобазис. Таким образом, функционал f отождествляется с вектором Бб f с. Этот вектор, в свою очередь, определяет функционал f формулой

f бxс = (Бб f с)·x.