§ 3.5. Линейные уравнения порядка n

Линейное скалярное уравнение порядка n сводится стандартной заменой (см. п. 1.4.5) к линейной нормальной системе, поэтому основные факты теории таких уравнений являются простыми следствиями из теории линейных систем. Вместе с тем линейные скалярные уравнения представляют более частный объект по сравнению с общими линейными системами и в ряде случаев допускают более полное исследование. В настоящем параграфе мы кратко опишем лишь основные следствия из теории систем и отметим присущую скалярным уравнениям специфику.

3.5.1. Сведéние линейных уравнений к линейным системам. Линейное уравнение n-го порядка

y(n) + an(t)y(n–1) + ... + a2(t)yў + a1(t)y = b(t)

(ЛУ)

заменой переменных

x = ж з з и y yў : y(n–1) ц ч ч ш = J (n–1)y

(ЗП)

сводится к системе

xў = A(t)x + b(t),

(ЛС)

где

A(t) = ж з з з з з и 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 : : : · · · : 0 0 0 ... 1 –a1(t) –a2(t) –a3(t) ... –an(t) ц ч ч ч ч ч ш ,   b(t) = ж з з з з з и 0 0 : 0 b(t) ц ч ч ч ч ч ш

(1)

Это утверждение является частным случаем утверждения 1.4.5 о сведении к нормальной системе. Будем предполагать, что

ak, b: J ® R непрерывны,

а неизвестная функция y принимает значения в K. Тогда все основные факты теории (ЛУ) могут быть получены как следствия соответствующих фактов теории (ЛС). Однако поскольку матрица A(t) и вектор b(t) для (ЛУ) имеют весьма специальный вид (1), многие теоремы допускают конкретизацию и усиление. Приведем несколько утверждений.

3.5.2. Утверждение о структуре множества решений (ЛОУ) и (ЛУ).

1° Множество Y всех решений линейного однородного уравнения

y(n) + an(t)y(n–1) + ... + a2(t)yў + a1(t)y = 0

(ЛОУ)

есть n-мерное подпространство пространства Cⁿ = Cⁿ(J, K).

2° Система решений (ЛОУ) j₁, j₂, ..., j_n является базисом Y (фундаментальной системой решений (ЛОУ)), если и только если определитель Вронского (вронскиан) этой системы W(t) =def det F(t), где

F(t) = ж з з з з з и j1 j2 ... jn jў1 jў2 ... jўn : : · · · : j1(n–1) j2(n–1) ... jn(n–1) ц ч ч ч ч ч ш ,

отличен от нуля в какой-нибудь точке t₀ О J; в этом случае он не равен нулю в любой точке t О J.

3° Общее решение j_он неоднородного уравнения выражается через общее решение j_оо однородного и любое частное решение j_чн неоднородного:

jон = jоо + jчн.

4° Если b(t) есть линейная комбинация b_i(t), то j_чн — такая же линейная комбинация решений j_чнi, соответствующих правым частям b_i(t).

5° Одно из частных решений неоднородного уравнения (ЛУ), соответствующее начальному условию J ^(n–1)y(t₀) = 0, можно выразить через фундаментальную систему решений j₁, ..., j_n и b с помощью формулы вариации произвольных постоянных:

jчн(t) = n е k = 1 jk(t) т t t0 Ynk(s) W(s) b(s) ds,

где Y_nk — алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя Вронского.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В силу (ЗП), если y = j(t) — решение (ЛУ), то x = colon (j(t), jў(t), ..., j^(n–1)(t)) — решение (ЛС). Поэтому утверждение 1° следует из п. 3.2.1, утверждение 2° — из п. 3.2.4, утверждение 3° и 4° — из п. 3.1.7. Наконец, утверждение 5° есть следствие формулы вариации произвольной постоянной (9) из § 3.2. В самом деле, функция

x = т t t0 F(t)F–1(s)b(s) ds

есть частное решение (ЛС), удовлетворяющее начальному условию x(t₀) = 0. В соответствии с (ЗП) ее первая компонента y = x₁ — частное решение (ЛУ), удовлетворяющее начальному условию J ^(n–1)y(t₀) = 0. Остается заметить, что по известному правилу вычисления обратной матрицы

F–1(s)b(s) = 1 det F(s) ж з з з з з и Y11(s) Y21(s) ... Yn1(s) Y12(s) Y22(s) ... Yn2(s) : : · · · : Y1n(s) Y2n(s) ... Ynn(s) ц ч ч ч ч ч ш ж з з з з з и 0 0 : b(s) ц ч ч ч ч ч ш =

= b(s) W(s) ж з з з з з и Yn1(s) Yn2(s) : Ynn(s) ц ч ч ч ч ч ш ,

и поэтому

y = x1 = ж и F(t) т t t0 F–1(s)b(s) ds ц ш 1 = n е k = 1 jk(t) т t t0 Ynk(s) W(s) b(s) ds.

3.5.3. Утверждение о фундаментальной системе решений (ЛАОУ). Для линейного автономного однородного уравнения

y(n)+ any(n – 1) + ... + a2yў + a1y = 0

(ЛАОУ)

следующие функции образуют фундаментальную систему решений:

ykl = elk t t l–1   (k = 1, ..., p; l = 1, ..., rk),

(2)

где l_k — корни характеристического уравнения

ln + anln – 1 + ... + a2l + a1 = 0,

(3)

совпадающие с собственными значениями соответствующей матрицы A, r_k — их кратности.

Существенное отличие от аналогичного утверждения для (ЛАОС) заключается в том, что здесь нет неопределенных коэффициентов: если все корни характеристического уравнения и их кратности найдены, то фундаментальная система решений выписывается явно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем сначала, что характеристический многочлен p(l) равен det (lI – A), и следовательно, его корни (называемые характеристическими корнями, или характеристическими числами (ЛАОУ)) являются собственными значениями матрицы A той же кратности. Для этого положим

pk(l) = к к к к к к к к l –1 0 ... 0 0 l –1 ... 0 0 0 l ... 0 : : : · · · : ak ak+1 ak+1 ... l + an–1 к к к к к к к к .

Очевидно, p₀(l) = det (lI – A). Далее, если разложить определитель p_k(l) по элементам первого столбца, то получим

pk(l) = l к к к к к к к к l –1 0 ... 0 0 l –1 ... 0 0 0 l ... 0 : : : · · · : ak+1 ak+2 ak+3 ... l + an–1 к к к к к к к к +

+ (–1)n–k–1ak к к к к к к к к –1 0 0 ... 0 l –1 0 ... 0 0 l –1 ... 0 : : : · · · : 0 0 0 ... –1 к к к к к к к к =

= lpk+1(l) + (–1)n–k–1ak(–1)n–k–1 = lpk+1(l) + ak.

Учитывая, что p_n–1(l) = l + a_m–1, получаем требуемое равенство:

det (lI – A) = p0(l) = lp1(l) + a0 = l(lp2(l) + a1) + a0 = ...

... = l(l ... l(l(l + an–1) + an–2) + ... + a1) + a0 = p(l).

Теперь докажем, что если l — характеристическое число (ЛАОУ) кратности r (напомним, что в этом случае p(l) = pў(l) = ... = p^(r–1)(l) = 0), то функции

y = eltt l–1   (l = 1, 2, ..., r)

являются решениями (ЛАОУ). Это проверяется непосредственным подсчетом. При этом нам будет удобно, учитывая, что y является функцией двух переменных t и l, писать ¶ⁱy(t)/¶tⁱ вместо y⁽ⁱ⁾(t). Заметим, что

y(t) = elt tl–1 = ¶ l ¶ll elt.

Поэтому

y(n)(t) + an–1y(n–1)(t) + ... + a0y(t) =

= ¶n ¶tn ¶l ¶ll elt + an–1 ¶n–1 ¶tn–1 ¶l ¶ll elt + ... + a0 ¶l ¶ll elt =

= ¶l ¶ll ¶n ¶tn elt + ¶l ¶ll an–1 ¶n–1 ¶tn–1 elt + ... + a0 ¶l ¶ll elt =

= ¶l ¶ll ж з и ¶n ¶tn elt + an–1 ¶n–1 ¶tn–1 elt + ... + a0elt ц ч ш =

¶l ¶ll (lnelt + an–1ln–1elt + ... + a0elt) =

= ¶l ¶ll (p(l)elt) = l е i = 0 Clip(l–i)(l)tielt = 0,

что и требовалось доказать.

Линейная независимость набора (2) следует из леммы 3.4.5 о квазимногочлене поскольку линейная комбинация функций (2) очевидно имеет вид

P(t) = p е k = 1 Pk(t)elk t,

где P_k(t) — многочлены, степени меньшей r_k.

3.5.4. Пример. Найдем общее решение уравнения вертикального гармонического осциллятора при наличии внешней силы с помощью сформулированных здесь утверждений:

xўў + w2x = g.

Решая характеристическое уравнение

l2 + w2 = 0,

находим корни:

l1,2 = ± wi,    r1, 2 = 1.

Поэтому общее решение однородного уравнения есть

x = C1eiwt + C2e–iwt.

Частное решение найдем по формуле вариации произвольных постоянных:

W(t) = к к к eiwt e–iwt iweiwt –iwe–iwt к к к = –2iw;

A21(t) = –e–iwt,    A22(t) = eiwt,

и следовательно,

xчн(t) = eiwt т t 0 A21(s) W(s) g ds + e–iwt т t 0 A22(s) W(s) g ds =

= geiwt т t 0 e–iws 2iw ds – ge–iwt т t 0 eiws 2iw  ds.

Нетрудно видеть, что второе слагаемое вместе со знаком "–" есть величина, сопряженная к первому слагаемому. Поэтому

xчн(t) = 2g·Re eiwt т t 0 e–iws 2iw ds = g w2 Re eiwt(–1 + e–iwt) =

= g w2 (–eiwt – 1) =  g w2 (1 – cos wt).

Если b(t) есть квазимногочлен, то частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов. В данном случае, очевидно, константа g/w² также будет частным решением.

Как и в случае систем, найденную комплексную фундаментальную систему решений можно преобразовать в вещественную:

u1(t) = Re eiwtcos wt,   v1(t) = Im eiwt = sin wt.

Таким образом, следующая формула дает общее вещественное решение данного уравнения:

y(t) = C1cos wt + C2sin wt + g w2    (C1, C2 О R).

3.5.5. Контрольные вопросы

3.5.5.1. Покажите, что задача Коши

xўў + xўsin t + tx = 1,

x(0) = 0,    xў(0) = 1

имеет единственное решение на всей оси R.

3.5.5.2. Почему функции фундаментальной системы решений {j₁(t), j₂(t)} уравнения yўў + a₂(t)yў + a₁(t)y = 0 не могут иметь экстремум в одной и той же точке?

3.5.5.3. Покажите, что если сумма двух решений (ЛУ) является его решением, то это уравнение однородно.

3.5.5.4. Может ли определитель Вронского линейно независимой системы {j₁(t), ..., j_n(t)} n раз непрерывно дифференцируемых скалярных функций тождественно равняться нулю?

3.5.5.5. Найдите фундаментальные системы решений уравнений yўў + yў – 2y = 0, y^(IV) + 4y = 0, yўў – 2yў + y = 0.

3.5.5.6. По заданному характеристическому многочлену p(l) = (l + 1)²(l² + 1)(l – 1) (ЛАОУ) пятого порядка найдите фундаментальную систему решений. Найдите вещественную фундаментальную систему решений.

3.5.6. Задачи

3.5.6.1. Докажите, что задача Коши

t2xўў + txў + x = 0,

x(t0) = x0,    xў(t0) = x1

имеет единственное решение на любом промежутке, не содержащем точку 0.

3.5.6.2. Определим на C(J, Kⁿ) оператор p со значениями в C(J, K) равенством

px(t) = p(x1(t), ..., xn(t)) = x1(t).

Пусть e и E — пространства решений (ЛОУ) и соответствующей (ЛОС). Покажите, что p отображает E на e линейно и изоморфно. Найдите p^–1 на e.

3.5.6.3. Покажите, что любое ограниченное на всей оси решение уравнения yўў + a₂(t)yў + a₁(t)y = b(t) с ограниченными на всей оси a₁(t), a₂(t) и b(t) имеет ограниченные на всей оси первую и вторую производные.

3.5.6.4. Уравнения

yўў – 2tyў + 2ly = 0,

(1 – t2)yўў – 2tyў + l(l + 1) = 0,

и

(1 – t2)yўў – tyў + l2y = 0

называются соответственно уравнениями Эрмита, Лежандра и Чебышева. Покажите, что при натуральных l эти уравнения имеют имеют полиномиальные степени l решения. (После соответствующей нормировки эти функции называются многочленами Эрмита, Лежандра и Чебышева, соответственно.

3.5.6.5. Пусть y = j(t) и y = y(t) — решения уравнений yўў + p(t)y = 0 и yўў + q(t)y = 0, соответственно, причем j(t₀) = y(t₀) и jў(t₀) = yў(t₀). Пусть на некотором интервале (t₀, t₁) выполнены неравенства q(t) > p(t), j(t) > 0 и y(t) > 0. Докажите, что на этом интервале отношение y(t)/j(t) убывает.

3.5.6.6. Докажите, что если a > 0 и тt0Ґ|b(s)|ds < Ґ, то все решения уравнения yўў + [a + b(t)]y = 0 ограничены на [t0, Ґ).

3.5.6.7. Найти все l О C, при которых у уравнения yўў + ly = b(t) существует единственное ограниченное на всей оси решение при любой непрерывной ограниченной на всей оси функции b(t).

3.5.6.8. Пусть ненулевая функция y = j(t) является решением уравнения

yўў + a2(t)yў + a1(t)y = 0.

Найдите фундаментальную систему решений этого уравнения.

3.5.6.9. Докажите, что если W(t) — определитель Вронского произвольной фундаментальной системы решений (ЛОУ), то

W(t) = exp ж и – т t 0 an(s) ds ц ш

(формула Лиувилля — Остроградского ).

3.5.6.10. Докажите, что если в уравнении ayўў + byў + c = 0 коэффициенты a, b и c положительны, то все решения этого уравнения стремятся к нулю при t ® Ґ.

3.5.6.11. Найдите все значения p и q, при которых любое решение уравнения yўў + pyў + q = 0 стремится к нулю при t ® Ґ.

3.5.6.12. Найдите все значения p и q, при которых любое решение уравнения yўў + pyў + q = 0 является периодической функцией.

3.5.6.13. Найдите все значения p и q, при которых любое решение уравнения yўў + pyў + q = 0 ограниченной на всей оси функцией.

3.5.6.14. Докажите, что если l не является корнем характеристического полинома линейного автономного уравнения

y(n) + any(n–1) + ... + a2yў + a1y = b(t),

(ЛАНУ)

а b(t) = p_k(t)e^lt, где p_k(t) — многочлен степени k, то это уравнение имеет частное решение вида q_k(t)e^lt. (Поэтому в описанной ситуации частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов в виде q_k(t)e^lt.)

3.5.6.15. Докажите, что если в предыдущей задаче l — корень характеристического многочлена кратности l, то (ЛАНУ) имеет частное решение вида t^lq_k(t)e^lt.

3.5.6.16. Пользуясь результатами двух предыдущих задач укажите способ нахождения частных решений (ЛАНУ) в случаях, когда b(t) = p_k(t)e^xtcos ht и b(t) = p_k(t)e^xtsin ht.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 18 Jan 2002, 21:49.
Last modified 17 Apr 2002.