§ 3.4. Метод неопределенных коэффициентов для линейных автономных систем

Полученное в предыдущем параграфе представление e^At требует вычисления жордановой нормальной формы J матрицы A и приводящей матрицы P, что является достаточно сложной задачей. Практически бывает удобнее находить фундаментальную матрицу e^AtP = Pe^Jt. В данном параграфе мы подробно опишем вид столбцов этой матрицы, и это позволит находить их методом неопределенных коэффициентов.

3.4.1. Утверждение о решениях вида e^ltq. Функция e^ltq (l О C, q О Kⁿ) является ненулевым решением системы

xў = Ax

(ЛАОС)

тогда и только тогда, когда l есть собственное значение матрицы A, а q — соответствующий собственный вектор. Если матрица A имеет n линейно независимых собственных векторов q_k с (не обязательно различными) собственными значениями l_k, то функции

jk(t) = elk tqk    (k = 1, 2, ..., n)

(1)

образуют фундаментальную систему решений (ЛАОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Если e^ltq — ненулевое решение (ЛАОС), то

Aeltq =  deltq dt  = leltq,

(2)

т. е.

Aq = lq.

(3)

Следовательно, l — собственное значение A и q — соответствующий собственный вектор. Наоборот, из (3) умножением на e^lt получаем (2), т. е. e^ltq удовлетворяет (ЛАОС).

Система решений вида (1) с линейно независимыми q_k, очевидно, фундаментальна, так как при значения этих решений линейно независимы.

В частности, если все n собственных значений l_k матрицы A различны, то соответствующие собственные векторы q_k линейно независимы, т. е. система (1) фундаментальна.

3.4.2. Пример. Найдем фундаментальную систему решений вида (1) для системы

xў1 = wx2, xў2 = -wx1

(4)

(w № 0). Сначала ищем собственные значения l_k матрицы

A = ж и 0 w –w   0 ц ш

и убеждаемся, что они различны:

(A – lI) = 0 Ы l2 + w2 = 0 Ы l1, 2 = ±iw.

Итак, в данном случае фундаментальная система решений (1) имеет вид:

j1(t) = eiwt ж и a b ц ш , j2(t) = e–iwt ж и c d ц ш .

Подставим j₁ в (4) и найдем a и b:

iweiwt ж и a b ц ш = eiwt ж и 0 w –w   0 ц ш ж и a b ц ш ,

iwa = bw, iwb = –aw Ь a = 1, b = i.

Нас интересует не вся совокупность решений этой алгебраической линейной однородной системы, а только ее фундаментальная система решений, которая в данном случае состоит из одного решения. Таким образом,

j1(t) = eiwt ж и 1 i ц ш .

Аналогично находим j₂:

dw, – iwd = – cw Ь c = 1, d = – i  —

и, следовательно,

j2(t) = e–iwt ж и 1 –i ц ш .

3.4.3. Утверждение о фундаментальной системе решений (ЛАОС) в общем случае. (ЛАОС) имеет фундаментальную систему решений вида

jkl(t) = elk tQkl(t),

(5)

где

k = 1, 2, ..., p,

l = 1, 2, ..., r_k,

l_k — собственное значение матрицы A алгебраической кратности r_k,

Q_kl(t) — многочлен от переменной t с векторными коэффициентами, причем его степень deg(Q_kl) Ј max_s{r(k, s)} – 1 Ј r_k – 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Как отмечено выше, (ЛАОС) имеет фундаментальную матрицу

F(t) = PeJt,

(6)

где e^Jt — блочно-диагональная матрица с блоками вида (11) из п. 3.3.5. Заметим, что в соответствии с (6) столбцы матрицы F(t) получаются умножением матрицы P на соответствующие столбцы e^Jt. Будем нумеровать столбцы e^Jt и F(t) двумя индексами: k = 1, 2, ..., p — номер блока, в который входит этот столбец в e^Jt, и l = 1, 2, ..., r_k — номер столбца в этом блоке. Тогда из формулы (11) п.3.3.5 следует, что

jkl(t) = Pelk tykl(t),

где столбец y_kl(t) состоит из нулей и функций вида t^m/m!, m Ј max_s{r(k, s)} – 1 Ј r_k – 1. Положив Q_kl = Py_kl, получаем (5).

3.4.4. Определение квазимногочлена. Квазимногочленом называется функция вида

j(t) = p е k = 1 elk tQk(t),

(7)

где Q_k(t) — многочлены от t, а l_k О C — показатели квазимногочлена. Если многочлены Q_k имеют векторные коэффициенты, то квазимногочлен называется векторным.

П р и м е р.  Любое решение (ЛАОС) есть векторный квазимногочлен, показатели которого — собственные значения матрицы A. Это следует из п. 3.4.3 и того факта, что любое решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

3.4.5. Лемма о квазимногочлене. Пусть показатели l_k квазимногочлена (7) различны. Утверждается, что если

p е k = 1 elk tQk(t) є 0,

то

Qk(t) є 0    (k = 1, 2, ..., p).

Д о к а з а т е л ь с т в о  проводится индукцией по p. Для p = 1 утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для некоторого p, и пусть

p + 1 е k = 1 elk tQk(t) = el1 tQ1(t) + p + 1 е k = 2 elk tQk(t) є 0.

Тогда

Q1(t) + p + 1 е k = 2 e(lk–l1)tQk(t) є 0.

(8)

Полученное тождество будем последовательно дифференцировать по t до тех пор, пока первое слагаемое не обратится в нуль. Заметим, что

d dt [eltQ(t)] = elt[lQ(t) + Qў(t)] = eltQ(t).

Отсюда, в частности, следует, что старший коэффициент Q получается из старшего коэффициента Q умножением на l. Поэтому, если l № 0 и Q(t) 0, то и

Путем последовательного дифференцирования мы получим из (8):

p + 1 е k = 2 e(lk–l1)tQk(t) є0.

По предположению индукции,

Qk(t) є 0    (k = 2, ..., p + 1).

Учитывая, что l_k – l₁ № 0, получаем в силу сделанного выше замечания:

Qk(t) є 0    (k = 2, ..., p + 1).

Вместе с (8) это дает: Q₁(t) є 0.

3.4.6. Утверждение о линейной независимости. Если в произвольной системе решений вида (5) свободные члены полиномов Q_kl при любом фиксированном k линейно независимы, то вся система (5) линейно независима.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть

p е k = 1 rk е l = 1 cklelk tQkl(t) є 0,

т. е.

p е k = 1 elk tQk(t) є 0,    Qk(t) = rk е l = 1 cklQkl(t).

По лемме о квазимногочлене тогда

rk е l = 1 cklQkl(t) є 0   (k = 1, 2, ..., p).

Поскольку при t = 0 и фиксированном k многочлены Q_kl(t) линейно независимы, отсюда получаем:

ckl = 0   (k = 1, 2, ..., p;  l = 1, 2, ..., rk).

Итак, если каким-нибудь способом найти систему решений вида (5), линейно независимую при любом фиксированном k и t = 0, то это будет фундаментальная система решений. Найденная фундаментальная система решений может быть комплексной даже в том случае, когда матрица A вещественна, так как собственные значения вещественной матрицы могут быть комплексными. В этом случае возникает задача: преобразовать комплексную фундаментальную систему решений для (ЛАОС) с вещественной матрицей A в вещественную фундаментальную систему решений.

3.4.7. Утверждение о вещественной фундаментальной системе решений. Пусть для (ЛАОС) с вещественной матрицей A построена комплексная фундаментальная система решений вида

j1, ..., jn1; y1, ..., yn2; y1, ..., yn2

(9)

где j1, ..., jn1 — вещественные, y1, ..., yn2 — комплексные, а y1, ..., yn2 — соответствующие комплексно сопряженные.

Утверждается, что тогда набор

j1, ..., jn1; u1, ..., un2; v1, ..., vn2;

(10)

где

uk = Re yk,    vk = Im yk    (k = 1, 2, ..., n2),

есть вещественная фундаментальная система решений (ЛАОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Функции (10) являются решениями (ЛАОС), так как

uk = yk + yk 2 ,   vk = yk – yk 2i ,

(11)

а линейная комбинация решений (ЛАОС) есть решение. Количество функций в наборе (10) такое же, как и в (5), т. е. n. Проверим линейную независимость. Пусть

n1 е k = 1 ckjk + n2 е j = 1 djuj + n2 е j = 1 ejvj = 0.

Отсюда и из (11) получаем:

n1 е k = 1 ckjk + n2 е j = 1 1 2 й л ж и dj + 1 i ej ц ш yj + ж и dj – 1 i ej ц ш yj щ ы = 0.

Ввиду линейной независимости системы (9)

ck = 0   (k = 1, 2, ..., n1),

dj ± 1 2 ej = 0    (j = 1, 2, ..., n2),

т. е.

dj = ej = 0    (j = 1, 2, ..., n2).

П р и м е р.  Для системы (4) в п. 3.4.2 мы нашли комплексную фундаментальную систему решений

j1(t) = eiwt ж и 1 i ц ш   =   ж и cos wt –sin wt ц ш   +  i ж и sin wt cos wt ц ш   =  y1(t),

j2(t) = e–iwt ж и 1 –i ц ш   =   ж и cos wt –sin wt ц ш   – i ж и sin wt cos wt ц ш   =  y1(t),

Поэтому следующая пара образует вещественную фундаментальную систему решений:

u1(t) = Re y1(t) = ж и cos wt –sin wt ц ш ,    v1(t) = Im y1(t)  =   ж и sin wt cos wt ц ш .

Эту фундаментальную систему решений мы нашли в п. 3.2.2 другим способом (подбором).

3.4.8. Утверждение о представлении решений (ЛАОС) в виде квазимногочленов. Любое решение j (ЛАОС) единственным образом с точностью до порядка слагаемых представляется в виде векторного квазимногочлена

j(t) = p е k = 1 elk tQk(t),

в котором показателями l_k являются собственные значения матрицы A, а степени многочленов Q_k не превосходят r_k – 1, где r_k — алгебраическая кратность l_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Как уже отмечалось в п. 3.4.4, возможность представления любого решения в указанном виде вытекает из утверждения о фундаментальной системе решений соответствующего вида. Единственность представления следует из леммы о квазимногочлене: если имеется еще одно представление

j(t) = p е k = 1 elk t ~ Q k(t),

то

p е k = 1 elk t[Qk(t) – ~ Q k(t)] є 0,

так что

Qk(t) є ~ Q k(t).

3.4.9. Контрольные вопросы

3.4.9.1. Найдите фундаментальную матрицу системы

xў1= wx2,    xў2 = wx1.

3.4.9.2. Найдите общее решение систем

d dt ж з и x1 x2 x3 ц ч ш = ж з и 1   2   0 0   2   1 0   0   2 ц ч ш ж з и x1 x2 x3 ц ч ш    и    d dt ж з и x1 x2 x3 ц ч ш = ж з и 2   2   0 0   2   1 0   0   2 ц ч ш ж з и x1 x2 x3 ц ч ш .

3.4.9.3. По заданным решениям (ЛАОС)

ж з и et + e2t e2t 0 ц ч ш ,   ж з и et + e3t e3t e3t ц ч ш   и   ж з и et – e3t –e3t –e3t ц ч ш

найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A.

3.4.9.4. Пусть матрица n×n-матрица A имеет ровно n различных невещественных собственных значений lk. Почему набор функций {eRe lk tcos(Im lkt), eRe lk tsin(Im lkt)}nk=1 не является фундаментальной системой решений (ЛАОС)?

3.4.9.5. Почему систему xў1= x2,  xў2= –x1 заменой вида y = Tx нельзя свести к системе yў1= y1,  yў2= 2y2?

3.4.10. Задачи

3.4.10.1. Покажите, что если у (ЛАОС) есть ненулевое ограниченное на всей оси решение, то у матрицы A есть по крайней мере одно собственное значение с нулевой вещественной частью.

3.4.10.2. Найдите все начальные значения x₀, для которых решение задачи Коши

xў = ж з и 1     0   –2 0 1 0 1 –1 –1 ц ч ш ,  x(0) = x0

является периодическим.

3.4.10.4. Пусть все собственные значения матрицы A имеют (алгебраические) кратности, не превосходящие двух. Докажите, что многочлен Q(t) с векторными коэффициентами большей единицы степени не может быть решением (ЛАОС).

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 31 17 Jan 2002, 21:53.
Last modified 16 Apr 2002.