§ 3.2. Фундаментальные матрицы

В этом параграфе мы введем и изучим понятия фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы (ЛОС) и покажем, что операторы gt0t, Kt0 и gt0t выражаются через фундаментальную матрицу. Общего способа для отыскания фундаментальной матрицы системы с переменными коэффициентами нет, однако сам факт ее существования играет в теории дифференциальных уравнений важную роль.

3.2.1. Утверждение о структуре множества решений ЛОС. Рассматривается линейная однородная система

xў = A(t)x.

(ЛОС)

Пусть E — множество всех ее решений на промежутке J, а j = {j₁, ..., j_n} М E. Утверждается, что:

1) E — n-мерное подпространство пространства C¹ непрерывно дифференцируемых на J функций со значениями в Kⁿ;

2) следующие утверждения эквивалентны

j — базис в E,

(1)

$(t0 О J)[j(t0) = {j1(t0), j2(t0), ..., jn(t0)} — базис в Kn],

(2)

"(t0 О J)[j(t0) = {j1(t0), j2(t0), ..., jn(t0)} — базис в Kn].

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Утверждение 1) вытекает из свойств мономорфизма (см. п. 3.1.4), поскольку E = Gt0(Kn) М C1. Далее, импликация (2) Ю (1) следует из того, что мономорфизм Gt0 переводит базис в базис. Поскольку импликация (3) Ю (2) очевидна, остается доказать, что (1) Ю (3). Но это следует из того же утверждения о свойствах мономорфизмов, примененного к обратному оператору Gt0–1.

Заметим, что для произвольного набора функций j_k, не связанных с (ЛОС), импликация (1) Ю (3) может быть ложной. Например, скалярные функции j₁(t) є 1, j₂(t) є t на [0, 1] линейно независимы, а их значения в любой точке t₀ линейно зависимы.

3.2.2. Определение фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы. Фундаментальной системой решений (ЛОС) называется любой базис в пространстве решений E. Фундаментальная матрица F(t) — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений. Фундаментальная матрица Ft0(t), нормальная в точке  t0, выделяется из множества всех фундаментальных матриц условием Ft0(t) = I (I — единичная матрица).

П р и м е р ы.

1) Скалярная функция

Ft0(t) ж и т t t0 a(s) ds ц ш

образует фундаментальную матрицу (и фундаментальную систему решений) линейного скалярного уравнения

xў = a(t)x;

она нормальна в точке t₀.

2) Пара вектор-функций

j1(t) = ж з и sin wt cos wt ц ч ш ,   j2(t) = ж з и cos wt –sin wt ц ч ш

образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений гармонического осциллятора

xў1= wx2,   xў2= –wx1,

так как, во-первых, это решения, и во-вторых,

j1(0) = ж з и 0 1 ц ч ш ,   j2(0) = ж з и 1 0 ц ч ш —

базис в R². Поэтому матрица

F(t) = ж з и sin wt cos wt cos wt   –sin wt ц ч ш

является фундаментальной. Она не нормальна ни в одной точке t₀, так как на главной диагонали не могут одновременно стоять единицы.

Матрица с переставленными столбцами

F(t) = ж з и coswt –sin wt   sin wt cos wt ц ч ш

очевидно, фундаментальна и нормальна в точке t₀ = 0.

3.2.3. Утверждение о комплексном линейном однородном уравнении. Рассмотрим систему

xў1= a(t)x1 – b(t)x2, xў2= b(t)x1 + a(t)x2.

(4)

Предположим, что

a, b: J ® R непрерывны.

Утверждается, что система (4) имеет фундаментальную матрицу

F(t) = eA(t) ж з и cos B(t) sin B(t)   –sin B(t) cos B(t) ц ч ш

(5)

где

A(t) = т t t0 a(s) ds, B(t) = т t t0 b(s) ds.

Если систему (4) записать в виде комплексного линейного уравнения

zў = l(t)z,

(6)

то фундаментальную матрицу можно представить в виде

Yt0(t) = eA(t)(cos B(t) + isin B(t)) = exp ж и т t t0 l(s) ds ц ш .

В частности, для уравнения

zў = lz

с постоянным комплексным коэффициентом l = a + ib

Y0(t) = elt;

здесь использовано известное обозначение

ea + ib = ea(cos b + isin b).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем, что столбцы матрицы (6)

j1(t) = eA(t) ж з и cos B(t) sin B(t) ц ч ш ,   j2(t) = eA(t) ж з и –sin B(t) cos B(t) ц ч ш

являются решениями (4):

jў1(t)= a(t)eA(t) ж з и cos B(t) sin B(t) ц ч ш + b(t)eA(t) ж з и –sin B(t) cos B(t) ц ч ш   =   ж з и a(t) b(t)   –b(t) a(t) ц ч ш j1(t),

jў2(t)= a(t)eA(t) ж з и –sin B(t) cos B(t) ц ч ш + b(t)eA(t) ж з и –cos B(t) –sin B(t) ц ч ш   =   ж з и a(t) b(t)   –b(t) a(t) ц ч ш j2(t),

Далее, найдем их значение в точке t₀:

j1(t0) = ж з и 1 0 ц ч ш ,   j2(t0) = ж з и 0 1 ц ч ш .

Итак, (6) есть Ft0(t) — фундаментальная матрица системы (4), нормальная в точке t0.

Напомним, что решения системы (4), (6) связаны соотношениями x = rz, z = cx, где r и c — отображения овеществления и комплексификации. Поэтому из решений j₁, j₂ системы (4) получаем следующие решения уравнения (6):

y1(t) = eA(t)(cos B(t) + isin B(t)),    y2(t) = eA(t)(–sin B(t) + icos B(t)).

Они линейно зависимы, поскольку, очевидно, y2 = iy1. Решение y1 составляет фундаментальную матрицу, нормальную в точке t0, так как y1(t0) = 1. Его мы и обозначим через Yt0(t).

3.2.4. Критерий фундаментальности. Наряду с (ЛОС) рассмотрим соответствующее матричное уравнение

Xў = A(t)X,

(МУ)

в котором неизвестная функция X = X(t) принимает значения в пространстве Mⁿ всех квадратных (n×n)-матриц с элементами из K.

Утверждается: для того чтобы заданная матрица-функция F: J ® Mⁿ была фундаментальной матрицей (ЛОС) необходимо и достаточно, чтобы она была решением (МУ) и имела в некоторой точке t₀ ненулевой определитель. В этом случае он будет отличен от нуля в любой точке t О J. Фундаментальная матрица является нормальной в точке t₀, если и только если она удовлетворяет матричному начальному условию

X(t0) = I.

(МНУ)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Заметим, что матричная функция X = F(t) будет решением (МУ) в том и только том случае, когда любой ее столбец j_k является решением (ЛОС). Действительно, равенство k-ых столбцов в (МУ) имеет вид

jўk(t)= A(t)jk(t),

что совпадает с (ЛОС). Теперь сформулированный критерий вытекает непосредственно из определений и теоремы о структуре множества решений (ЛОС), поскольку линейная независимость столбцов определителя эквивалентна, как устанавливалось в курсе алгебры, отличию этого определителя от нуля.

3.2.5. Общее решение (ЛОС) и оператор сдвига. Общее решение (ЛОС) задается формулой

x = F(t)C    (C О Kn),

(7)

где F(t) — любая фундаментальная матрица (ЛОС). Оператор сдвига имеет вид

gt0t(x0)= Ft0(t)x0,

(8)

где Ft0(t) — фундаментальная матрица, нормальная в точке t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Поскольку столбцы j₁(t), ..., j_n(t) фундаментальной матрицы F(t) образуют, по определению, базис в пространстве E всех решений (ЛОС), все множество E есть линейная оболочка этих столбцов, т. е. описывается в точности формулой (7):

F(t)C = C1j1(t) + C2j2(t) + ... + Cnjn(t).

По этой причине (8) есть решение (ЛОС), которое в силу равенства Ft0(t0) = I принимает в t0 значение x0.

Формула (8) означает, что Ft0(t) есть матрица линейного оператора gt0t в естественном базисе e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) пространства Kn.

3.2.6. Выражение Kt0 через F и формулы вариации произвольной постоянной. Частное решение неоднородной линейной системы, удовлетворяющее нулевому начальному условию, может быть выражено через b(t) и любую фундаментальную матрицу (ЛОС) F:

(Kt0b)(t) =  F(t) т t t0 F–1(s)b(s) ds =  т t t0 Fs(t)b(s) ds.

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Очевидно, при t = t₀ правая часть в (9) обращается в 0. Непосредственной подстановкой в (ЛС) убеждаемся, что эта функция является решением неоднородной системы

d dt ж и т t t0 F–1(s)b(s) ds ц ш =  Fў(t) т t t0 F–1(s)b(s) ds + F(t)F–1(t)b(t) =

=  A(t) ж и F(t)  т t t0 F–1(s)b(s) ds ц ш + b(t)

(в последнем переходе мы воспользовались тем, что F(t) есть решение (МУ)).

Из формулы

gt0t(x0)= gt0t(x0)+ (Kt0b)(t)

(см. (7) в п. 3.1.6) и полученных в настоящем параграфе выражений gt0t, Kt0 через F получаются формулы для оператора сдвига

gt0t(x0)= Ft0(t)x0 + т t t0 Fs(t)b(s) ds

(10)

и общего решения (ЛС)

jон(t) = Ft0(t)C + т t t0 Fs(t)b(s) ds

(в первом слагаемом Ft0(t) можно заменить на любую фундаментальную матрицу F(t)).

Их часто называют формулами вариации произвольной постоянной, поскольку они могут быть получены, как и соответствующие формулы для скалярного уравнения, методом вариации произвольной постоянной (см. п. 1.4.1).

3.2.7. Пример: вертикальный осциллятор. Если рассмотренный в п. 1.5.2 гармонический осциллятор расположить вертикально, то к силе пружин добавится сила тяжести P = mg и уравнение примет вид

xўў + w2x = g.

Запишем его в виде системы (x₁ = x, x₂ = xў/w):

d dt ж з и x1 x2 ц ч ш   =   ж з и 0 –w   w 0 ц ч ш ж з и x1 x2 ц ч ш   +   ж з и 0 –g/w ц ч ш .

(11)

Фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в точке s, имеет вид:

Fs(t) = ж з и cos w(t – s) –sin w(t – s)     sin w(t – s) cos w(t – s) ц ч ш .

Учитывая, что

b(t) = ж з и 0 –g/w ц ч ш ,

получаем

(K0b)(t) = т t 0 ж з и cos w(s – t) sin w(s – t)    –sin w(s – t) cos w(s – t) ц ч ш ж з и 0 –g/w ц ч ш ds = g w2 ж з и 1 – cos wt sin wt ц ч ш .

В силу (9)

x = x1 = g w2 + ж з и x01 – g w2 ц ч ш cos wt + x02sin wt,

где x₀₁ = x(0), x₀₂ = xў(0).

Проведенные вычисления можно было упростить, заметив, предварительно, что (11) есть вещественная запись комплексного уравнения

zў = –iwz + i g w .

(12)

Действительно, тогда

ys(t) = e – iw(t – s);

положив b₁ = ig/w, получим

(K0b1)(t) = т t 0 eiw(s–t) g w i ds = g w2 eiw(s–t)| t s=0 = g w (1 – e–iwt);

z = e–iwtz0 + g w2 (1 – e–iwt),

где z₀ = x₀₁ + ix₀₂. Поэтому

x = Re z = x01cos wt + x02sin wt + g w2  –  g w2 cos wt.

Еще одно возможное упрощение состоит в том, что для выписывания общего решения неоднородной системы (см. п. 3.1.7) можно использовать не обязательно (K₀b)(t), а любое частное ее решение, которое проще находится. Например, поскольку в уравнении (12) b₁ = ig/w есть константа, естественно попытаться найти частное решение z₁ в виде константы: z₁ = C О C. Очевидно, z₁ў = 0 и

–iwC + i g w = 0,   C = g w2 .

Тогда общее решение уравнения (12) запишется в виде

z = e–iwt(C1 + iC2) + g w2    (C1, C2 О R),

т. е.

x = Re z = C1cos wt + C2sin wt + g w2 .

3.2.8. Лемма о дифференцировании произведения матриц. В п. 3.2.6 мы уже воспользовались тем фактом, что произведение прямоугольных матриц (в частности, матрицы на вектор-столбец) можно дифференцировать по обычному правилу:

d dt [A(t)B(t)] = Aў(t)B(t) + A(t)Bў(t).

(13)

Здесь мы это докажем и установим также полезное правило дифференцирования обратной матрицы (если она существует):

d dt A–1(t) = –A–1(t)Aў(t)A–1(t).

(14)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Производная матрицы, как и вектора, вычисляется поэлементно:

d dt M(t) = (mўij(t)).

Элемент c_ij произведения A(t)B(t) имеет вид

cij(t) = е k aik(t)bkj(t).

Отсюда следует (13). Для проверки (14) продифференцируем почленно тождество A(t)A^–1(t) є I:

Aў(t)A–1(t) + A(t) d dt A–1(t) є 0.

Это приводит к (14).

3.2.9. Теорема о множестве всех фундаментальных матриц. Пусть F(t) — какая-нибудь фундаментальная матрица (ЛОС). Тогда множество всех фундаментальных матриц описывается формулой

F(t)P,

(15)

где P пробегает множество всех невырожденных квадратных постоянных (не зависящих от t) матриц.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем, что любая матрица вида (15) является фундаментальной. Во-первых, она удовлетворяет (МУ):

d dt [F(t)P] = Fў(t)P + F(t)Pў = Fў(t)P = A(t)F(t)P.

Во-вторых, det F(t)P = det F(t)·detP № 0. Наоборот, возьмем любую фундаментальную матрицу Y(t) и покажем, что она представляется в виде (15). Действительно, матрица F ^{– 1}(t)Y(t), очевидно, имеет при любом t ненулевой определитель и не зависит от t:

d dt [F–1(t)Y(t)] = –F–1(t)Fў(t)F(t)Y(t) + F–1(t)Yў(t) =

= –F–1(t)A(t)F(t)F–1(t)Y(t) + F–1(t)A(t)Y(t) = 0.

3.2.10. Контрольные вопросы

3.2.10.1. Является ли матрица

F(t) = ж и cos t –sin t sin t    cos t ц ш

фундаментальной для системы

xў1= x2,   xў2= –x1?

3.2.10.2. Может ли матрица

F(t) = ж и cos t sin t sin t    cos t ц ш

быть фундаментальной для какой-нибудь линейной однородной системы?

3.2.10.3. Найдите решение матричного уравнения

Xў = ж и 1 t 0    2 ц ш X,

удовлетворяющее начальному условию X(0) = I.

3.2.10.4. Могут ли матрицы-функции

F(t) = ж и et 2et 2e2t    e2t ц ш ,   Y(t) = ж и cos t –sin t sin t    cos t ц ш

быть фундаментальными для одной и той же (ЛОС)?

3.2.10.5. С помощью формулы вариации произвольной постоянной найдите решение системы

xў1= x2 + 2et,   xў2= x1 + t2,

если известно, что решениями соответствующей однородной системы являются функции

x1(t) = ж и et + e–t et – e–t ц ш ,   x2(t) = ж и et et ц ш

3.2.10.6. Могут ли все вектор-функции вида (at + b, 0) быть решениями одной и той же двумерной системы?

3.2.11. Задачи

3.2.11.1. Докажите, что две различные линейные однородные системы xў = A(t)x и xў = B(t)x (A(t) B(t)) с непрерывными коэффициентами не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу.

3.2.11.2. Пусть F и Y — фундаментальные матрицы линейных систем xў = A(t)x и xў = B(t)x с непрерывными коэффициентами, соответственно. Покажите, что при любой постоянной невырожденной матрице C матрица-функция FCY является решением матричного уравнения

Xў = A(t)X + XB(t).

3.2.11.3. Пусть (F, Y) — решение матричной системы уравнений

Xў = A(t)X + B(t)Y,

Yў = C(t)X + D(t)Y

(A, B, C, D — непрерывные n×n-матрицы-функции). Докажите, что если Y обратима, то матрица FY^–1 является решением матричного уравнения Рикатти

Zў = B(t) + A(t)Z – ZD(t) – ZC(t)Z.

3.2.11.4. Если A(t) — матрица-функция с дифференцируемыми компонентами, а w(t) = det A(t). Докажите, что wў(t) = еni=1det Aiў(t), где матрицы Aiў(t) получаются из матрицы A(t) дифференцированием компонентов i-го столбца.

3.2.11.5. Докажите, что если F(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), а w(t) = det F(t), то при всех t, t₀ О R

w(t) = w(t0)exp ж и т t t0 Tr A(s) ds ц ш ,

где Tr A(s) — след матрицы A(s) (т. е. сумма ее диагональных элементов: Tr A(s) = еni=1aii(s)).

3.2.11.6. Докажите, что любые n линейно независимых непрерывно дифференцируемых функций j_i: R ® Kⁿ одновременно являются решениями некоторой (ЛОС) с непрерывной n×n-матрицей- функцией A(t).

3.2.11.7. По заданному общему решению (ЛНС) x = F(t)C + j(t) (C О Rⁿ, F(t) — фундаментальная матрица) найдите оператор сдвига.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 6 Jan 2002, 22:10.
Last modified 14 Apr 2002.