1.4.17. Теорема о представлении изотропных тензорных функций

Пусть S³ — пространство симметричных 3×3-матриц, а φ: S³ →S³ — изотропная матричная (или тензорная) функция. Тогда существуют функции φ₁, φ₂, φ₃: R³ → R такие, что для любой матрицы T ∈ S³

φ(T) = φ0TI+ φ1TT + φ2TT 2,

где φiT = φi(J1, J2, J3) (i = 0, 1, 2), а Ji = Ji(T) (i = 1,2,3) — инварианты матрицы T.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть S = φ(T). В силу симметричности T существует ортогональная матрица O₁, приводящая T к диагональной матрице D_T : D_T = O₁*ºTºO₁= diag (λ₁, λ₂, λ₃), где λ₁, λ₂, λ₃ — собственные числа матрицы T. Положим D_S = O₁*ºSºO₁. В силу изотропности φ

DS = O1*ºφ(T)ºO1= φ(O1*ºTºO1)= φ(DT).

Обозначим diag (1, –1, –1) и diag (–1, –1,1) через O2 и O3, соответственно. Матрицы O2 и O3, очевидно, диагональны, O2*= O2 и O3*= O3 и, кроме того,

O2*ºDTºO2= O3*ºDTºO3= DT

(применение матриц O2, O2*и O3, O3*к диагональным матрицам, очевидно, только изменяет знаки соответствующих коэффициентов на диагонали). Далее, учитывая изотропность φ,

O2*ºDSºO2= O2*ºφ(T)ºO2= φ(O2*ºTºO2)= φ(DT) = DS,

(7)

и аналогично,

O3*ºDSºO3= DS

(8)

Непосредственный подсчет показывает, что (мы используем обозначение s_jⁱ коэффициентов матрицы D_S)

O2*ºDSºO2 = ( s11 –s12 –s13 –s21 s22 s23 –s31 s32 s33 ) ,

а

O3*ºDSºO3 = ( s11 s12 –s13 s21 s22 –s23 –s31 –s32 s33 ) ,

Из этих равенств и из (7) и (8) следует равенство всех внедиагональных элементов матрицы D_S нулю. Таким образом D_S — диагональная матрица: D_S = diag (η₁, η₂, η₃), причем η₁, η₂, η₃ — ее собственные значения.

Запишем теперь равенство S = φ(T) в "координатной форме": s_jⁱ = φ_ij(t_jⁱ), или, оставляя только ненулевые координаты, s_iⁱ = φ_ii(t_jⁱ). Обозначив через Φ_i "сужение" функций φ_ii на "диагональные элементы", перепишем последнее тождество для матриц D_T и D_S в виде

ηi = Φi(λ1, λ2, λ3).

Обозначим через O₄ матрицу

( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) .

Из изотропности φ вытекает равенство O4*ºDSºO4= φ(O4*ºDTºO4), а непосредственный подсчет показывает, что O4*ºDTºO4= diag (λ2, λ1, λ3), O4*ºDSºO4= diag (η2, η1, η3). Поэтому

diag (η2, η1, η3) = φ[diag (λ2, λ1, λ3)],

(9)

откуда, в частности, следует равенство

η3 = Φ3(λ1, λ2, λ3) = Φ3(λ2, λ1, λ3).

В силу леммы 1.4.17 найдется функция Ψ₃ такая, что

Φ3(λ1, λ2, λ3) = Ψ3(λ1 + λ2, λ1λ2, λ3).

(10)

Учитывая, что инварианты J₁ = J₁(T), J₂ = J₂(T), J₃ = J₃(T) выражаются через собственные значения матрицы формулами

J1 = λ1 + λ2 + λ3, J2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1, J3 = λ1λ2λ3,

(11)

равенство (10) можно продолжить следующим образом

Φ3(λ1, λ2, λ3) = Ψ3(J1 – λ3, J2 – λ3(J1 – λ3), λ3) ≝ ψ3(J1, J2, λ3).

(12)

Точно так же доказывается существование функций ψ_i (i = 1, 2), что

Φi(λ1, λ2, λ3) = ψi(J1, J2, λi).

(13)

Теперь заметим, что из равенства (9) следуют равенства

ψ2(J1, J2, λ2) = ψ1(J1, J2, λ2),

(14)

ψ2(J1, J2, λ1) = ψ1(J1, J2, λ1).

(15)

Докажем утверждение теоремы сначала в случае, когда все собственные значения матрицы T различны. Определим числа φ_i^T (i = 0, 1, 2) как решения системы уравнений

φ0T + φ1Tλi+ φ2Tλi2= Φi (= Φi(λ1, λ2, λ3) = ηi),   i = 0, 1, 2).

(16)

Как известно, ее решение φ₀^T (например) задается формулой (в силу различности собственных значений λ_i определитель этой системы — он представляет собой определитель Ван дер Монда — отличен от нуля)

φ0T =  | | | | |  Φ1  λ1  λ12  Φ2  λ2  λ22  Φ3  λ3  λ32 | | | | | · | | | | |  1 λ1  λ12  1 λ2  λ22  1 λ3  λ32 | | | | | –1 ≝F0(Φ1, Φ2, Φ3, λ1, λ2, λ3).

(17)

Очевидно,

F0(Φ1, Φ2, Φ3, λ1, λ2, λ3) = F0(Φ2, Φ1, Φ3, λ2, λ1, λ3).

Далее, подставляя (12) и (13) в (17), получаем

F0(Φ1, Φ2, Φ3, λ1, λ2, λ3) = = F0[Φ1(λ1, λ2, λ3), Φ2(λ1, λ2, λ3), Φ3(λ1, λ2, λ3), λ1, λ2, λ3] = = F0[ψ1(J1,J2, λ1), ψ2(J1,J2, λ2), ψ3(J1,J2, λ3), λ1, λ2, λ3] ≝ ≝ G0(λ1, λ2, λ3)

Теперь заметим, что в силу (14) и (15)

G0(λ1, λ2, λ3) = G0(λ2, λ1, λ3).

Аналогично показывается перестановочность остальных аргументов, и, таким образом, функция G₀ симметрична. Теми же самыми рассуждениями устанавливается существование и симметричность остальных решений φ_i^T = G_i(λ₁, λ₂, λ₃)(i = 1, 2) системы (16). Но тогда в силу леммы 1.4.16 существуют функции φ_i такие, что φ_i^T = φ_i(J₁, J₂, J₃).

Осталось вернуться от диагональных матриц к исходным. Система (16) в матричном виде выглядит так:

diag (η1, η2, η3) = = φ0TI+ φ1T diag (λ1, λ2, λ3) + φ2T [diag (λ1, λ2, λ3)]2,

или

DS = φ0TI+ φ1TDT+ φ2TDT2.

Умножив слева на матрицу O₁, а справа — на O₁*, получим

φ(T) = S = φ0TI+ φ1TT+ φ2 TT2,

и теорема в случае различных собственных значений матрицы T доказана.

В случае, если λ₁ = λ₂ ≠ λ₃, вместо системы (16) достаточно рассмотреть систему из двух уравнений

φ0T + φ1Tλi= Φi (i = 1, 3)

и аналогичными рассуждениями получить существование функций φ₀, φ₁ таких, что φ(T) = S = φ₀^TI+ φ₁^TT

(φ₂ в этом случае равна нулю).

Наконец, в случае, когда все собственные числа матрицы T одинаковы (матрица пропорциональна тождественной), утверждение теоремы тривиально:

F(T) = φ0TI.

(φ₂ и φ₂ равны нулю).