Глава II. Дискретные модели § 2.2. Аппроксимации производных

Назад 2.2.8. Аппроксимация параболического дифференциального оператора /t2/x2Вперед

Пусть теперь W = (0, X) × (0, T), u: W ® R достаточно гладкая функция (u = u(x, t)), F(W) состоит из достаточно гладких функций, а L параболический дифференциальный оператор на F(W): Lu = u/t 2u/x2.

Пусть, далее, wht прямоугольная равномерная сетка на W с шагами h и t по x и t соответственно. Как и выше, будем сохранять обозначение xij для точек (ih, jt) (i = 0, ..., n, j = 0, ..., m) сетки.

Как и в п. 2.2.6, оператор L предстáвим в виде разности операторов L1 = /t и L2 = 2/x2. Если мы теперь аппроксимируем оператор L1 одним из операторов L1t+,L1tили L1t°,а оператор L2 оператором L2h°,то получим следующие три аппроксимации оператора L:

Lh°t+u= L1t+uL2h°u= ut+uxx+,(4)

Lh°tu= L1tuL2h°u= utuxx+,(5)

и

Lh°t°u= L1t°uL2h°u= ut°uxx+,(6)

Соответствующие им шаблоны изображены на рис. 2.2а, 2.2б и 2.2в.

Рис. 2.2.
Рис. 2.2.

Так же, как и в теореме 2.2.3, без труда доказывается, что для достаточно гладких функций u

||Lh°t+LhuLhLu||° = O(h2 + t),

||Lh°tLhuLhLu||° = O(h2 + t),

а

||Lh°t°LhuLhLu||° = O(h2 + t2).