1.4.2. Тензор деформации Лагранжа

Для аналитического описания деформации в случае, когда движение g дифференцируемо, определим тензор T, называемый тензором дисторсии, равенством

T =  ¶x ¶x  =  ¶ ¶x g(x0, t).

Тогда, очевидно,

x1 – x0 = g(x0 + se1, t) – x0 = Tбse1с + o(s).

(1)

Определим теперь тензор деформации Лагранжа L равенством

2L = T*°T – I.

Тогда из (1) очевидным образом вытекают равенства

l(e1) =  Ц 2e1·Lбe1с + 1  – 1

(2)

cos( lim s®0 ys) =  e1·e2 + 2e1·L бe2с [l(e1) + 1][l(e2) + 1] .

(3)

В самом деле,

l(e1) =  lim s®0 |x1 – x0| – |x1 – x0| |x1 - x0|  =

=  lim s®0 |Tбse1с + o(s)| – |se1| |se1|  =

= |Tбe1с| – 1 = Ц Tбe1с·Tбe1с – 1 =

= Ц e1·(T*°T)бe1с – 1 = Ц e1·(2L + I)бe1с – 1 =

= Ц 2e1·Lбe1с + 1 – 1.

Далее, аналогично,

|x1 – x0| = |Tбse1с + o(s)| = |Tбse1с| + o(s) =

= Ц Tбse1с·Tбse1с + o(s) = s Ц e1·(T*°T)бse1с + o(s) =

= s Ц e1·(2L + I)бse1с + o(s) = s Ц 2e1·Lбse1с + 1 + o(s) =

= s(l(e1) + 1) + o(s).

Поэтому

cos( lim s®0 ys) =  lim s®0 (x1 – x0)·(x2 – x0) |x1 – x0|·|x2 – x0|  =

=  lim s®0 [Tбse1с + o(s)]·[Tбse2с + o(s)] [s(l(e1) + 1) + o(s)]·[s(l(e2) + 1) + o(s)]  =

=  lim s®0 (Tбe1с + O(s))·(Tбe2с + O(s)) [(l(e1) + 1) + O(s)]·[(l(e2) + 1) + O(s)]  =

=  Tбe1с·Tб e2с [l(e1) + 1]·[l(e2) + 1]  =  e1·e2 + e1·(T*°T)бe2с – e1·e2 [l(e1) + 1]·[l(e2) + 1]  =

=  e1·e2 + 2e1·Lбe2с [l(e1) + 1]·(l(e2) + 1) .

Можно показать, что знание тензорной функции L(x, t) позволяет полностью определить конфигурацию W_t сплошной среды.