1.4.1. Деформация сплошной среды

Пусть x = g(x, t) — движение сплошной среды. Разумеется, при движении первоначальная конфигурация W₀ сплошной среды переходит в "деформированную" конфигурацию W_t, при которой изменяется взаимное положение частиц сплошной среды. Зафиксируем некоторую частицу p₀ О W₀. Тогда ее положение в нулевой момент времени есть x₀, а в момент времени t — x₀ = g(x₀, t). Вектор w₀ = x₀ – x₀ называется вектором перемещения частицы p₀. Пусть e₁ О S — произвольный орт, x₁ = x₀ + se₁, а x₁ = g(x₁, t) (s > 0) (см. рис. 4.1). Относительным удлинением в направлении e₁ называется число

l(e) =  lim s®0 |x1 – x0| – |x1 – x0| |x1 – x0| .

Рис. 4.1.

Пусть теперь e₂ О S, x₂ = x₀ + se₂, x₂ = g(x₂, t), j — угол между векторами x₁ – x₀ и x₂ – x₀ (или, что то же, между ортами e₁ и e₂), а y_s — угол между векторами x₁ – x₀ и x₂ – x₀:   cos y_s = (x₁ – x₀)·(x₂ – x₀)/[|x₁ – x₀|·|x₂ – x₀|] (см. рис. 4.1). Относительным сдвигом направлений e₁ и e₂ называется число

t(e1, e2) =  lim s®0 ys – j.

Относительные удлинения и сдвиги полностью характеризуют деформации малой окрестности частицы p₀, поскольку описывают, как изменяются расстояния и углы при движении сплошной среды.