1.4.19. Теорема о представлении изотропных векторных функций

Для любой изотропной функции f: R³ ® R³ существует функция j: R ₊ ®R такая, что

f(x) = j(|x|)x.

(18)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Определим функцию j равенством

j(|x|) =  м н о 0, если f(x) = 0 или x = 0,  x·f(x)/|x|2, если f(x) № 0.

Мы должны доказать, во-первых, корректность определения j, т. е. показать, что j(|x|) = j(|y|), если |x| = |y|, и, во-вторых, что функция j искомая, т. е. доказать равенство (18).

Корректность следует из изотропности функции f. Действительно, если |x| = |y|, то найдется ортогональное преобразование O такое, что y = Oбxс. Но тогда

j(|y|) = y·f(y)/|y|2 = = Oбxс·f(Oб xс)/|x|2 = Oбxс·Oб f(x)с/|x|2 = = (O*бxс°Oбxс)·f(x)/|x|2 = x·f(x)/|x|2 = j(|x|).

Докажем (18). Если x = 0, то и f(x) = 0. В самом деле, f(0) = O*бf(0)с = O*б f(0)с и поэтому f(0) = 0, т. к. O — произвольный поворот. Если f(x) = 0, то, очевидно, и j(|x|) = 0, что гарантирует (18). Наконец, если x таков, что f(x) № 0, то сначала покажем, что f(x) = ax (a О R). В самом деле, Пусть O_a — ортогональное преобразование поворота вокруг вектора x на угол a. В силу изотропности f

Oa*б f(x)с= f(Oa*б xс)= f(x),

т. е. вектор f(x) не изменяется при повороте вокрух x. Это может быть только в том случае, если f(x) = ax. Но тогда

j(x)x =  x·f(x) |x|2 x =  x·ax |x|2 x = ax = f(x),

что и требовалось.