2.4.7. Теорема Лакса

Любая устойчивая разностная схема k-го порядка аппроксимации на решении является схемой k-го порядка сходимости.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Положим z_h = L_h(L_hu) – F_h, где u — решение дифференциальной краевой задачи. Поскольку разностная схема имеет k-й порядок аппроксимации на решении,

||zh|| = ||Lh(Lhu) – Fh|| ≤ Cahk

(10)

и поэтому ||z_h|| мала при малых h. Следовательно, в силу устойчивости,

||Lh–1(Fh+ zh) – Lh–1(Fh)||≤ Cs||zh||.

(11)

Остается заметить, что

Lh–1(Fh+ zh) = Lh–1(Fh+ LhLhu – Fh) = Lh–1LhLhu= Lhu,

а

Lh–1Fh= uh.

Поэтому неравенство (11) с учетом (12) переписывается в виде

||u – uh|| = ||Lhu – uh|| ≤ Cs||zh|| ≤ CsCahk.

Теорема доказана.

Эта теорема описывает наиболее распространенный способ доказательства сходимости разностных схем.