2.4.6. Устойчивость разностных схем

Разностная схема (2) называется устойчивой, если для любых достаточно малых h и z_h ∈ F(ω_h) "возмущенная" разностная схема

Lhvh = Fh + zh

(8)

однозначно разрешима и существует такая не зависящая от h и ||z_h|| константа C_s, что

||vh – uh|| ≤ Cs||zh||.

(9)

Устойчивость разностной схемы означает, что малые возмущения zh в правой части разностной схемы приводят к равномерно малому по h изменению решения (напомним, что uh — решение невозмущенной схемы, а vh — возмущенной). Поскольку uh = Lh–1(Fh),а vh = Lh–1(Fh+ zh), неравенство (9), переписанное в виде ||Lh–1(Fh)– Lh–1(Fh+ zh)|| ≤ Cs||zh||, означает, в частности, непрерывность обратного к разностному оператору оператора Lh–1в точке Fh.

Устойчивость — очень важное в приложениях свойство разностных схем. При практической реализации на ЭВМ разностных методов возникают, в частности, проблемы, связанные с невозможностью представления точных чисел в компьютере. В результате мы решаем не разностную схему (2), а несколько отличающееся от (2) уравнение. Все такие возмущения в разностной схеме, грубо говоря, можно "перенести в правую часть" и, таким образом, считать, что в ЭВМ ищется решение не разностной схемы (2), но решение возмущенного уравнения (8). Свойство устойчивости разностной схемы гарантирует близость при достаточно малых h между точным (теоретическим) решением uh разностной схемы и его практической реализацией Lh–1(Fh+ zh) (где zh — суммарный вектор возмущений). Источником возмущений служит не только невозможность точного представления данных в ЭВМ, но и неточность определения физических параметров модели, погрешность измерений и т. п.

Оказывается, устойчивые аппроксимирующие схемы обязательно являются сходящимися. Это простое, но фундаментальное утверждение в теории разностных схем называется теоремой Лакса.