1.4.19. Теорема о представлении изотропных векторных функций

Для любой изотропной функции φ: R³ → R³ существует функция φ: R ₊ →R такая, что

φ(x) = φ(|x|)x.

(18)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Определим функцию φ равенством

φ(|x|) =  { 0, если φ(x) = 0 или x = 0,  x·φ(x)/|x|2, если φ(x) ≠ 0.

Мы должны доказать, во-первых, корректность определения φ, т. е. показать, что φ(|x|) = φ(|y|), если |x| = |y|, и, во-вторых, что функция φ искомая, т. е. доказать равенство (18).

Корректность следует из изотропности функции φ. Действительно, если |x| = |y|, то найдется ортогональное преобразование O такое, что y = O⟨x⟩. Но тогда

φ(|y|) = y·φ(y)/|y|2 = = O⟨x⟩·φ(O⟨ x⟩)/|x|2 = O⟨x⟩·O⟨ φ(x)⟩/|x|2 = = (O*⟨x⟩ºO⟨x⟩)·φ(x)/|x|2 = x·φ(x)/|x|2 = φ(|x|).

Докажем (18). Если x = 0, то и φ(x) = 0. В самом деле, φ(0) = O*⟨φ(0)⟩ = O*⟨ φ(0)⟩ и поэтому φ(0) = 0, т. к. O — произвольный поворот. Если φ(x) = 0, то, очевидно, и φ(|x|) = 0, что гарантирует (18). Наконец, если x таков, что φ(x) ≠ 0, то сначала покажем, что φ(x) = ax (a ∈ R). В самом деле, Пусть O_α — ортогональное преобразование поворота вокруг вектора x на угол α. В силу изотропности φ

Oα*⟨ φ(x)⟩= φ(Oα*⟨ x⟩)= φ(x),

т. е. вектор φ(x) не изменяется при повороте вокрух x. Это может быть только в том случае, если φ(x) = ax. Но тогда

φ(x)x =  x·φ(x) |x|2 x =  x·ax |x|2 x = ax = φ(x),

что и требовалось.