1.4.14. Изотропные функции

Мы начнем с тензорных функций. Зафиксируем в R³ произвольный ортонормированный базис {e_i}. Тогда, как известно, определено отображение ℑ, сопоставляющее каждому тензору T второго ранга на R³ (который мы отождествляем с линейным отображением на R³) матрицу T: Tⁱ_j = eⁱ·T⟨e_j⟩. Известно, что отображение ℑ линейно и обратимо, а также, что ℑ и ℑ^–1 сохраняют операции суперпозиции тензоров и сопряжения: ℑ(TºS) = ℑ(T)ºℑ(S), ℑ(T*) = [ℑ(T)]*. Каждая тензорная функция Φ: T²(R³) → T²(R³) порождает матричную функцию φ: M³ → M³ по формуле φ = ℑºΦºℑ ^{– 1}.

Матричная функция φ называется изотропной, если φ(O*ºTºO) = O*ºφ(T)ºO для любой ортогональной матрицы O ∈ M³, т. е. такой, что O*ºO = OºO* = I.

Тривиально доказывается, что тензорная функция Φ изотропна в том и только том случае, когда изотропна матричная функция φ. Поэтому в дальнейшем мы отождествляем матричные и тензорные функции, а также матрицы T и тензоры T, сохраняя обозначение T и для матриц.

Нашей целью являются утверждения о представлении изотропных функций как функций от инвариантов тензоров.

Докажем предварительно две полезные леммы.