0.2.3. Матрица линейного отображения

Диадой a ⊗ b двух векторов a, b ∈ R^m называется линейное отображение из L(R^m), определяемое равенством

(a⊗b)⟨x⟩ = a(b·x).

Для любого базиса {ei} в Rm набор линейных отображений {ei⊗e j}mi, j=1будет базисом в L(Rm). В самом деле, определим числа Lji формулами

Lji = ei·L⟨ej⟩   (i, j = 1, ..., m).

Но тогда

Lji(ei⊗ej)⟨x⟩ = (Ljiei)(ej·x) = (Ljiei)x j = (ei·L⟨ej⟩)eix j = = (ei·L⟨x jej⟩)ei = (ei·L⟨ x⟩)ei = L⟨x⟩.

Единственность разложения L = L_jⁱ(e_i⊗e ^j) проверяется тривиально.

Наличие базиса из m² элементов означает, что L(R^m) является линейным m²-мерным пространством.

Соответствие L → {L_jⁱ} устанавливает изоморфизм между пространством L(R^m) и пространством M^m квадратных m×m-матриц. Матрица {L_jⁱ} (или просто L_jⁱ) называется матрицей отображения L в базисе {e_i}.

Очевидно,

L⟨x⟩ = Lji(ei⊗e j)⟨x⟩ = Ljiei(e j·x) = Ljix jei.

Матрица суперпозиции K°L также легко вычисляется:

(K°L)ji = ei·(K°L)⟨ej⟩ = ei·K⟨L⟨ej⟩⟩ = ei·K⟨Llk(ek⊗el)⟨ej⟩⟩ = = ei·K⟨Llk⟨ek(el·ej)⟩⟩ = ei·K⟨Llkekδjl⟩ = = Ljkei·K⟨ek⟩ = Ljkei·Ksp(ep⊗es)⟨ek⟩ = = Ljkei·(Kspepδks) = Ljkei·Kkpep = KkpLjkδji = KkiLjk.