§ 2.3. Теорема Коши — Пикара

В этом параграфе доказывается одна из основных теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений-теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2.3.1. Постановка задачи. Рассматривается задача Коши

xў = f(t, x),

(НС)

x(t0) = x0,

(НУ)

состоящая из нормальной системы (НС) и начального условия (НУ). Предполагается, что

f: [a, b]×Rn ® Rn;

(1)

функция f(t, x) непрерывна по t при любом фиксированном x;

(2)

f(t, x) удовлетворяет по x условию Липшица с некоторой константой L: ||f(t, x) – f(t, y)|| Ј L||x – y|| (t О [a, b]; x, y О Rn).

(3)

Исследуется вопрос о существовании и единственности решения задачи (НС), (НУ) и изучается метод последовательных приближений для приближенного отыскания решения.

2.3.2. Последовательные приближения. Пусть

j0: [a, b] ® Rn — произвольная непрерывная функция

(4)

Последовательные приближения, соответствующие начальному приближению j₀, определим с помощью рекуррентной формулы

jk+1(t) = x0 + т t t0 f[s, jk(s)] ds.

(5)

Покажем индукцией по k, что функция j_k(t) при любом k определена на всем отрезке [a, b] и непрерывна. Для k = 0 это совпадает с (4). Пусть j_k(t) обладает указанными свойствами. Тогда в правой части (5) под интегралом стоит непрерывная на [a, b] функция — это следует из свойств j_k и условий (1) – (3). Поэтому j_k+1 также определена на [a, b] и дифференцируема, а следовательно, и непрерывна.

Итак, все последовательные приближения определены на [a, b] и непрерывны. Отметим еще, что из (5) вытекают два равенства

jўk+1 = f[t, jk(t)]

(6)

и

jk+1(t0) = x0.

(7)

2.3.3. Формулировка теоремы Коши — Пикара. Пусть выполнены условия (1) – (3). Тогда:

1) задача (НС), (НУ) имеет на [a, b] единственное решение j;

2) последовательные приближения (4), (5) сходятся на [a, b] к j, причем справедлива следующая оценка погрешности k-го приближения:

||jk(t) - j(t)|| Ј L2 ck k!

(8)

где

L2 = L1ec, L1 = ||j0 – j1||, c = L·(b – a),

L — константа из условия Липшица  (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о  будет состоять из четырех лемм.

2.3.4. Замечание о единственности. Из сформулированной теоремы вытекает следующее усиленное утверждение о единственности: еслиj и y — любые два решения задачи (НС), (НУ), определенные не обязательно на всем отрезке [a, b], то они совпадают на D(j) З D(y). Действительно, если это не так, то найдется отрезок [a, b] М D(j) З D(y), на котором эти решения не тождественны. Но теорема Коши — Пикара, примененная на множестве [a, b] × Rⁿ, утверждает, что это невозможно.

Переходим к доказательству теоремы.

2.3.5. Лемма о сближении. Пусть выполнены условия теоремы Коши — Пикара и j₀, y₀: [a, b] ® Rⁿ — произвольные непрерывные начальные приближения. Утверждается, что для соответствующих последовательных приближений j_k, y_k (k = 1, 2, ...) справедливы неравенства:

||jk – k|| Ј L0 ck k!

(9)

где

L0 = ||j0 – y0||.

(10)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Индукцией по k покажем, что для любого k

||jk(t) – yk(t)|| ЈL0 Lk|t – t0|k k!  (t О [a, b]);

(11)

отсюда будет следовать (9). При k = 0 правая часть в (11) равна L₀, и неравенство выполнено ввиду (10). Предположив, что (11) справедливо, докажем аналогичное неравенство с заменой k на k + 1 (в переходе от (12) к (13) мы используем условие Липшица, а от (13) к (14) — предположение индукции):

||jk+1(t) – yk+1(t)|| =

= ||x0 + т t t0 f[s, jk(s)] ds – x0 – т t t0 f[s, yk(s)] ds||

Ј к к т t t0 ||f[s, jk(s)] – f[s, yk(s)]|| ds к к =

= м п н п о т t t0 ||f[s, jk(s)] – f[s, yk(s)]|| ds при t і t0 т t0 t ||f[s, jk(s)] – f[s, yk(s)]|| ds при t < t0 ь ч э ч ю Ј

(12)

Ј м п н п о L т t t0 ||jk(s) - yk(s)|| ds при t і t0 L т t0 t ||jk(s) - yk(s)|| ds при t < t0 ь ч э ч ю Ј

(13)

Ј м п н п о L0Lk+1 k! т t t0 (s – t0)k ds при t і t0 L0Lk+1 k! т t0 t (t0 – s)k ds при t < t0 ь ч э ч ю =

(14)

= L0 Lk+1|t – t0|k+1 (k + 1)! .

Напомним, что c^k/k! ® 0 при k ® Ґ; поэтому из (9) действительно следует, что j_k и y_k сближаются с ростом k.

2.3.6. Лемма о сходимости. В условиях теоремы Коши — Пикара  последовательные приближения  равномерно на [a, b] сходятся к некоторой функции j, причем

||jk - j|| Ј L2 ck k! .

(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем, что последовательность {j_k} фундаментальна в C. Сначала оценим ||j_k – j_k+1||. Для этого применим лемму о сближении к начальным функциям j₀ и y₀ = j₁. Тогда, очевидно, y_k = j_k+1, L₀ = ||j₀ – y₀|| = ||j₀ – j₁|| = L₁ и, следовательно,

||jk – jk+1|| Ј L1 ck k! .

Отсюда получаем оценку для ||j_k - j_p|| (p > k):

||jk – jp|| Ј Ј ||jk – jk+1|| + ||jk+1 – jk+2|| + ... + ||jp – 1 – jp|| Ј Ј L1 p – 1 е i = k ci i! Ј L1 Ґ е i = k ci i! Ј L1 = L1Pk

(16)

где P_k ® 0 при k ® Ґ как остаток сходящегося ряда.

Итак, последовательность {j_k} фундаментальна, поэтому в силу полноты пространства C она сходится в норме этого пространства к некоторой функции j О C. Для получения неравенства (15) оценим P_k:

Pk = Ґ е i = k ci i!   =   ck k! Ґ е i = k ci–kk! i!   Ј   ck k! Ґ е i = k ci–k (i – k)! ,

поскольку при i і k, очевидно, i! і k!(i – k)!. Введем теперь новую переменную суммирования j = i – k:

ck k! Ґ е i = k ci–k (i – k)!   =   ck k! Ґ е i = k cj j!   =   ck k! ec.

Отсюда и из (16) предельным переходом при p ® Ґ получаем (15).

2.3.7. Лемма о существовании. В рассматриваемых условиях предел последовательных приближений j есть решение задачи (НС), (НУ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Заметим, что jўk(t) равномерно сходится к f[t, j(t)], т. к. при k і 1 (см. (6))

||jўk(t)– f[t, j(t)]|| = ||f[t, jk–1(t)] – f[t, j(t)]|| Ј

Ј L||jk–1(t) – jk(t)||.

Итак, jk(t) ® j(t) при k ® Ґ и jўk(t)Ю j(t) при k ® Ґ (t О [a, b]). По теореме Вейерштрасса о дифференцировании функциональных последовательностей отсюда следует равенство jў(t) = f[t, j(t)]. Кроме того, j(t0) = limk®Ґjk(t0) = x0.

2.3.8. Лемма о единственности. В условиях  теоремы Коши — Пикара решение задачи (НС), (НУ) на [a, b] единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Если j и y — решения этой задачи на [a, b], то построим последовательные приближения j_k, y_k, соответствующие начальным приближениям j₀ = j, y₀ = y. Из (6), (7) в этом случае видно, что j_k = j, y_k = y при любом k. Но тогда из леммы о сближении следует, что j = y.

Доказательство теоремы Коши — Пикара завершено.

2.3.9. Контрольные вопросы

2.3.9.1. Найдите последовательные приближения, начинающиеся с функции j₀(t) є 1 для задачи Коши

xў = x,    x(0) = 1.

(17)

2.3.9.2. Удовлетворяет ли задача Коши (17) условиям теоремы Коши — Пикара?

2.3.9.3. Покажите, что

Ґ е k = 0 tk k! = et.

2.3.9.4. Задача Коши

txў = x, x(0) = 0

имеет по крайней мере два решения x = 0 и x = t. Почему этот факт не противоречит теореме Коши — Пикара?

2.3.9.5. Может ли уравнение xў = f(t, x) с удовлетворяющей условиям теоремы Коши — Пикара правой частью f: R×R ® R иметь общее решение вида t(t² + C)?

2.3.9.6. Найдите решение интегрального уравнения

x(t) = 1+ т t 0 x(s) ds.

2.3.10. Задачи

2.3.10.1. Докажите, что в условиях   теоремы Коши — Пикара   последовательные приближения, начатые с произвольной непрерывной функции либо все различны, либо, начиная с некоторого номера, совпадают.

2.3.10.2. Пусть функция f(t, x) непрерывно дифференцируема по совокупности переменных k раз. Докажите, что последовательные приближения, начатые с произвольной непрерывной функции, начиная с (k + 1)-го, непрерывно дифференцируемы k + 1 раз.

2.3.10.3. Для любого натурального K постройте пример задачи Коши, у которой последовательные приближения, начатые с произвольной непрерывной функции, совпадают при k і K, а последовательные приближения, начатые с некоторой непрерывной функции, попарно различны при k < K.

2.3.10.4. Докажите, что задача Коши

xў1 = min{x1, x2},    xў2 = max{x1, x2},

x1(0) = 1,    x2(0) = 1

имеет единственное решение на любом промежутке, содержащем точку 0.

2.3.10.5. Аналогичный вопрос для задачи Коши

xў = max{t, x},

x(0) = 0.

2.3.10.6. Методом последовательных приближений найдите решение задачи Коши

xў1= x1 + x2,    xў2= x2 + 1,

x1(0) = 0,    x2(0) = 0.

2.3.10.7. Методом последовательных приближений найдите решение задачи Коши

xў1= x2,    xў2= –x1,

x1(0) = 0,    x2(0) = 1.

2.3.10.8. Методом последовательных приближений найдите решение задачи Коши

xў = x + 1,    x(0) = 0

на отрезке [–1, 1] с точностью 10^–1.

2.3.10.9. Покажите, что задача Коши

xў = (tg t)·sin (t + x),   x(0) = 0

имеет на интервале (–p/2, p/2) единственное решение.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 4 Jan 2002, 13:43.
Last modified 11 Apr 2002.