2.2.6. Аппроксимации частных производных (оператор Лапласа)

Пусть, как оговорено, Ω = (0, X1) × (0, X2), u: Ω →R — достаточно гладкая функция (u = u(x1, x2)), а L — оператор Лапласа на F(Ω): Lu = Δu = ∂2u/∂x12+∂2u/∂x22 (предполагается, что F(Ω) состоит из достаточно гладких функций).

Пусть Ωh1h2 — прямоугольная равномерная сетка на Ω с шагами h1 и h2 по x1 и x2 соответственно (см. рис. 1.4). Будем обозначать точки (ih1, jh2) этой сетки через xij.

Обозначим через L2(x1) и L2(x2) операторы двойного дифференцирования по x1 и x2: L2(x1)u = ∂2u/∂x12, L2(x2)u = ∂2u/∂x22.Тогда, очевидно, L = L2(x1) + L2(x2). Поэтому оператор L можно аппроксимировать сеточным оператором, аппроксимировав каждый из операторов-слагаемых. Например, если воспользоваться аппроксимацией второй производной центральными разностями второго порядка, описанными в п. 2.2.4, то получим следующий оператор на F(Ωh1h2):

Lh1°h2°u = Lh1°2(x1)u+Lh2°2(x2)u= = ux1–x1+ + ux2–x2+   (u ∈ F(Ωh1h2)).

(2)

(Последнее выражение можно считать аналогом обозначения u_x1x1 + u_x2x2 для оператора Лапласа Δ = ∂²/∂x₁²+ ∂²/∂x₂²). "Поточечно" оператор L_h1°h2° очевидно определяется равенством

(Lh1°h2°u)(xij) =

=  u(x(i+1)j) – 2u(xij) + u(x(i–1)j) h12  +

+  u(xi(j+1)) – 2u(xij) + u(xi(j–1)) h22 .

Заметим, что в точке xij значения оператора Lh1°h2° на функции u определяюются значениями этой функции в точках x(i+1)j, xij, x(i–1)j, xi(j+1), xi(j – 1). Набор этих точек называется шаблоном разностной аппроксимации дифференциального оператора. В данном случае этот шаблон пятиточечный (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1.