1.2.11. Теорема о существовании вектора потока тепла

Существует векторное поле q: D → R³ такое, что в каждой точке (x, t) ∈ D для любой нормали n ∈ S плотность q_n потока тепла через элементарную площадку с нормалью n задается формулой

qn(x, t) = –q·n.

(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о  представляет собой почти дословное повторение доказательства теоремы 1.2.7. Изменения связаны только с тем фактом, что q_n, в отличие от p_n, является скалярной, а не векторной функцией. Кроме того, в определении вектора потока тепла q (15) фигурирует знак "–", который, очевидно, не влияет на доказательство и взят лишь для того, чтобы вектор q показывал истинное направление переноса тепловой энергии: n — орт внешней нормали к границе ∂ω объема ω, в который вносится поток тепла с плотостью q_n.

Наличие вектора потока тепла позволяет, как и выше, преобразовать уравнение баланса энергии к дифференциальной форме. Для его описания нам потребуется новое понятие.