Определим в R³ бинарную операцию × : R³ × R³ → R³, называемую векторным произведением. Говорят, что базисы {e_i} и {e_i′} имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода положителен: det A > 0. Для любого линейного отображения L в R³ определим линейное отображение l: R³ × R³ × R³ → R³ равенством

l(L)⟨x, y, z⟩ = x(y·L⟨ z⟩ – y·L*⟨ z⟩) – – y(z·L⟨x⟩ – z·L*⟨ x⟩) + z(x·L⟨ y⟩ –x·L*⟨y⟩).

Пусть, далее, {ei} — произвольный базис, а L таково, что l(L)⟨e1, e2, e3⟩ ≠ 0. Определим отображение ×{ei}: R3 × R3 → R3 равенством

x ×{ei} y = l(x×y)⟨e1, e2, e3⟩·√ |l(L)⟨e1, e2, e3⟩|2

Нетрудно показать, что для двух базисов {e_i} и {e_i′}

x ×{ei} y = x ×{ei′} y,

если эти базисы имеют одинаковую ориентацию, и

x ×{ei} y = –x ×{ei′} y,

если противоположную. И таким образом, отображение ×{ei} с точностью до знака не зависит от выбора базиса. Зафиксируем теперь произвольный базис и выберем L так, чтобы

|l(L)⟨e1, e2, e3⟩|2 = [Vol(e1, e2, e3)]–2,

где Vol(e1, e2, e3) — объем параллелепипеда, образованного векторами базиса. Соответствующее им отображение ×{ei}, которое мы будем обозначать × и есть, по определению, векторное произведение. Можно показать, что

x·(x × y) = y·(x × y) = 0,

(4)

т. е. вектор x × y ортогонален x и y,

|x·(y × z)| = Vol(x, y, z),

(5)

и, кроме того,

e1·(e2 × e3) = Vol(e1, e2, e3).

(6)

Свойства (4) – (6) определяют векторное произведение однозначно и могут служить аксиоматическим определением скалярного произведения.

В произвольном ортонормированном базисе {e_i} векторное произведение x × y можно представить в виде A(x)⟨y⟩, где матрица A задается равенством

A(x) =  (  0 –x3 x2 x3  0 –x1 –x2 x1  0 ) ,   где x = xiei.

(7)