1.6.2. Краевые задачи

Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными требуют дополнительных условий, называемых краевыми) (ср. с начальными условиями в задачах Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и краевыми условиями в краевых задачах для таких уравнений). Совокупность уравнения (системы уравнений) и краевых условий для него называются краевой задачей. В зависимости от краевых условий получающиеся краевые задачи могут радикально изменить поведение решений. Например, если при одних краевых условиях краевая задача корректна в некотором классе (пространстве) функций, т. е. ее решения существуют, единственны и непрерывно зависят от данных задачи (функций, фигурирующих в уравнении и краевых условиях), то, во-первых, эта же краевая задача в другом классе функций и, во-вторых, другая краевая задача для этого же уравнения могут оказаться некорректными. Причем корректность может нарушаться даже в вопросе существования решения. При смене вида краевых условий может получиться задача, не имеющая ни одного решения в любом мало-мальски разумном классе функций.

Для целей следующей части нашего курса мы опишем лишь два простейших (линейных) уравнения механики сплошной среды, описывающих распространение тепла.